[2016년 백석고]

--

[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

곡선 [eqn: y=e^x] 위의 점 [eqn: (1,```e)]에서의 접선의 기울기는? [4.1점]

④

① [eqn: 1overe]	② [eqn: 1overe^2]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e^2]

부정적분 [eqn: F(x)=ln2 timesint2^2x dx]에 대하여 [eqn: F(0)=0]일 때, [eqn: F(1)]의 값은? [4.1점]

③

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

정적분 [eqn: int_0 ^3 sqrt { 9-x^2 }dx}]의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: {3} over {4} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {3} over {2} pi]
④ [eqn: 9over4 pi]	⑤ [eqn: {9} over {2} pi]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가
[eqn: f` prime (x)= {cases{{1} over {x ^{2}}&```(x< -1)#3^x ln3&```(x>-1)}}]
이고, [eqn: f(-3)= { 2} over {3 }]일 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.1점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

극한값 [eqn: lim_n->inf { pi} over {n }left( sin { pi} over {n }+sin { 2pi} over {n }+sin { 3pi} over { n}+cdots+sin { n pi} over {n }right)]의 값은?
[4.3점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y=ln(1+x^2 )]에서 모든 변곡점의 [eqn: x]좌표의 합은? [4.3점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

곡선 [eqn: y=e^x]와 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=e]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4.3점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e]
④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: 2e-1]

[eqn: x>0]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 하면
[eqn: F(x)=xf(x)+lnx+x^2]
인 관계가 성립한다고 한다. [eqn: f(1)=0]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: -{ 1} over { 2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: -{ 3} over { 2}]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: - {5} over {2}]

[eqn: int _{-5} ^{-4} {} {x-x ^{2}} over {(x+1)(x+2)(x+3)} dx=p ln3+q ln2]이 성립할 때, 정수 [eqn: p], [eqn: q]의 합 [eqn: p+q]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정의역이 실수인 함수 [eqn: f(x)= { 3x} over { x^2 +1}]에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (0,```0)]에 대하여

대칭이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= sqrt { 2}]에서 최댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: left( sqrt { 3},``` { 3 sqrt { 3} } over {4 }right)]은 함수 [eqn: f(x)]의 변곡점 중의

하나이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=ax+ln(x^2 +4)]가 증가하도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값은? [4.5점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: ln(n+1)<1+ { 1} over {2 }+ { 1} over {3 }+cdots+ { 1} over {n }]
이 성립함을 보이는 과정이다.

위 과정을 만족하는 [eqn: f(k)]에 대하여 [eqn: f(2)]의 값은? [4.5점]

아래 그림에서 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k le x le k+1]일 때,

색칠한 부분의 넓이를 [eqn: f(k)]라 하자. 색칠한 부분의 넓이는 직사각형의 넓이보다 작으므로 [eqn: f(k)<1times { 1} over {k }= { 1} over { k}]이다.

그러므로 [eqn: sum_k=1 ^n f(k)<sum_k=1 ^n { 1} over { k}]이고, 정적분의 성질을 이용하면 [eqn: sum_k=1 ^n f(k)=ln(n+1)]이다.

따라서 [eqn: ln(n+1)<1+ { 1} over {2 }+ { 1} over {3 }+cdots+ { 1} over {n }]이 성립한다.

①

① [eqn: ln { 3} over { 2}]	② [eqn: ln2]	③ [eqn: ln{4over3]
④ [eqn: ln3]	⑤ [eqn: ln {5} over {4}]

실수 전체 집합에서 이계도함수를 갖는 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(1)=f(3)=1]이고 [eqn: f`'(1)=2], [eqn: f`'(3)=3]이다. 이때 정적분
[eqn: int _{1} ^{3} {} xf` '' (x)dx]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 닫힌 구간 [eqn: [0,```pi]]에서 곡선 [eqn: y=sinx] 위의 점 [eqn: {rmQ}(x,```sinx)]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하고, 선분 [eqn: rmPQ]를 지름으로 하는 반원을 [eqn: x]축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x=0]에서 [eqn: x=pi]까지 변할 때, 이 반원이 만드는 입체도형의 부피는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4.7점]

②

① [eqn: piover16]	② [eqn: pi^2 over16]	③ [eqn: pi^2 over8]
④ [eqn: piover2]	⑤ [eqn: pi^2 over4]

함수 [eqn: f(x)=x+sinx]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, 정적분
[eqn: int_pi ^2pi f(x)dx+int_pi ^2pi g(x)dx]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: pi^2]	② [eqn: 2pi^2]	③ [eqn: 3pi^2]
④ [eqn: 4pi^2]	⑤ [eqn: 5pi^2]

함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0], [eqn: f`''(x)<0]을 만족하고 [eqn: f(0)=1], [eqn: f(8)=2]이다. 또한 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

③

ㄱ. [eqn: g''(x)>0]

ㄴ. [eqn: int_1 ^2 g(x)dx<4]

ㄷ. [eqn: int_1 ^2 left{g(x)+xg'(x)right}dx=8]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(3)-6g(3)= { k} over {e^9 }]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.9점]

(가) [eqn: f(1)= { 1} over {e }]

(나) [eqn: { d} over { dx}left( { f(x)} over {x }right)=x^2 e^-x^2]

(다) [eqn: g(x)= { 1} over {e^9 }int_1 ^x e^t^2 f(t)dt]

②

① [eqn: 26]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 58]

닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: int_0 ^1 f(x)dx=2], [eqn: int_0 ^1 |f(x)|dx=2 sqrt { 3}]
를 만족시킨다. 함수 [eqn: F(x)]가
[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} |f(t)|dt```(0 LEQ x LEQ 1)]
일 때, [eqn: int _{0} ^{1} f(x)F(x)dx]의 값은? [4.9점]

④

① [eqn: 5-2 sqrt { 3}]	② [eqn: 4-2 sqrt { 3}]	③ [eqn: 2sqrt { 3}+1]
④ [eqn: 2sqrt { 3}+2]	⑤ [eqn: 2sqrt { 3}+3]

서술형

곡선 [eqn: y=ax lnx+b] 위의 점 [eqn: (1,```2)]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=-2x+4]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하는 풀이과정과 그 답을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: a=-2], [eqn: b=2]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=kxe^-x]이 있다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=2]보다 항상 아래쪽에 있도록 하는 실수 [eqn: k]의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: k<2e]

<조건>

1. 반드시 함수의 증가와 감소를 표 또는 그래프로

나타낼 것.

함수 [eqn: f(x)=lnx]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [1,```2]]를 [eqn: n]([eqn: n]은 [eqn: 2] 이상의 자연수) 등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: 1=x_0], [eqn: x_1], [eqn: cdots], [eqn: x_n-1], [eqn: x_n =2]라 하자. 함수 [eqn: f(x)] 위의 점 [eqn: (x_k ,```f(x_k ))]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a_k ,```0)]이라 할 때, 세 점 [eqn: (a_k ,```0)], [eqn: (x_k ,```0)], [eqn: (x_k ,```f(x_k ))]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: S_k]라 하자. [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n S_k (x_k -x_k-1 )]의 값을 구하는 풀이과정과 그 답을 서술하시오. (단, [eqn: k=1,```2,```cdots,```n]이고 [eqn: rmO]는 원점이다.) [8.0점]

[eqn: (ln2) ^{2} -ln2+ {3} over {8}]

[2016년 백석고]

[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com